আমরা ইন্টিগ্রেশন ভয় পাই না, ইন্টিগ্রেশনই আমাদের ভয় পায় [পর্বঃ২]

আশা করি মহান সৃষ্টিকর্তার দোয়ায় সবাই ভাল আছেন। আজকে আমি অনির্দিষ্ট যোগজীকরণের কিছু নিয়মাবলি নিয়ে আলোচনা করব। তাহলে শুরু করা যাকঃ

Rule:#1

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ এর একটি অংশকে বা অংশবিশেষকে ডিফারেনশিয়েট করলে যদি অপর একটি পূর্ণ অংশ পাওয়া যায় তবে তাকে z বা t ধরতে হবে। এবং dz এর মান বের করতে হবে। অবশেষে z এবং dz এর মান বসিয়ে সমাকলন করার পর সবশেষে z ও dz এর মান উঠিয়ে চলকের মান বসাতে হবে।
[এখানে z বা t এর কোন গুরুত্ব নেই, যেকোন প্রতীক ব্যবহার করা যাবে যেটা প্রদত্ত অঙ্কে না থাকে, সাধারণত z বা t অঙ্কে থাকে না বিধায় এ দুটোকেই প্রতীক হিসেবে ব্যবহার করা হয়ে থাকে]
ইন্টিগ্রেশন করার ক্ষেত্রে এটি একটি ব্যপকভাবে ব্যবহৃত একটি নিয়ম। না বুঝে থাকলে চলুন কিছু উদাহরণ দেখিঃ
১।

২। এখানে একটা কথা বলা দরকার যে, lnz কে uv পদ্ধতিতে ইন্টিগ্রেশন করলে অর্থাৎ, u=lnz ধরে ইন্টিগ্রেশন করলে zlnz-z রাশিটি পাওয়া যায়।

৩। আশা করি এতক্ষণের মধ্যে নিয়মটি বুঝেছেন, তাহলে আরেকটি উদাহরণ দেখে এই নিয়মটির খতম দেই। সামনের অঙ্কগুলোতে এই নিয়মটি মিক্সড অবস্থায় থাকতে পারে।

এবার ২য় নিয়মটি দেখা যাকঃ

Rule:#2

বিবৃতিঃ যদি কোন Iⁿ সমস্যা  বা  (যেখানে, n=3,5,7.... বেজোড় সংখ্যা) আকারের হলে,
(I) এর জন্য প্রথমে একে  এ পরিনত করতে হবে। পরে,  কে  এ রূপান্তরিত করে, z=cosx ধরে dz এর মান বের করে ইন্টিগ্রেশন করলেই হবে।
(II)  এর জন্য প্রথমে একে  এ পরিনত করতে হবে। পরে,   কে  এ রূপান্তরিত করে, z=sinx ধরে dz এর মান বের করে ইন্টিগ্রেশন করলেই হবে।
এবার একটি উদাহরণ দেখা যাকঃ

এই নিয়মের অঙ্কগুলো সব একই বিধায় একটিমাত্র উদাহরণ দেওয়া হল। cos হলে তাকে একই নিয়মে sin এ রূপান্তরিত করে ইন্টিগ্রেশন করতে হবে।
তবে একটা কথা, যদি সাইন কিংবা কোসাইন এর ঘাত ৩ হয় তবে আমরা শুধু সূত্র বসিয়েই ইন্টিগ্রেশন করতে পারব, কিন্তু ৩ এর অধিক হলে এই নিয়মটি খাটাতে হবে।
এবার ৩য় নিয়মটি একটু দেখিঃ

Rule: #3

বিবৃতিঃ
কোন Iⁿ যদি  বা  আকারের হয় (যেখানে n=2,4,6,... .. .. জোড় সংখ্যা) তবে,
(I)  হলে তাকে  আকারে প্রকাশ করে কোসাইনের সূত্রে রূপান্তর করতে হবে।
(II)  আকারের হলে তাকে  আকারে প্রকাশ করতে হবে এবং কোসাইনের সূত্রের রূপ দিতে হবে।
**** এবং এ প্রক্রিয়া চলতেই থাকবে যতক্ষণ না পর্যন্ত ঘাত ১ এ নেমে আসে****
এবার সচিত্র দেখা যাকঃ
(অংকটার সমাধান একটু বড় বিধায় দুটি চিত্রে দেওয়া হল)

এটাও ২ নং নিয়মের মত বলে একটাই উদাহরণ দেওয়া হল। সাইন বা কোসাইনের ঘাত জোড় থাকলে; সেটা যেকোন অঙ্কই হোক না কেন, তাকে আমরা কোসাইনের সূত্রে ফেলে দিতে চেষ্টা করব।
এবার দেখা যাক ৪ নং সূত্র কী বলে?

Rule:#4

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি  আকারের হয় তবে লব ও হর; উভয়কেই e^-x দ্বারা গুণ করতে হবে। সরল করার পর হর=z ধরতে হবে।
এবার চিত্রের মাধ্যমে দেখিঃ

এবার আরেকটি অঙ্ক দেখা যাক, যেটাতে শুরুর দিকে মনে হবে যে এই নিয়মেই পড়বে কিন্তু পরে দেখা যাবে অঙ্কটি অন্য নিয়মে সমাধানযোগ্যঃ

এই নিয়মের আপাতত এইখানেই ইতি টানলাম। এরপর দেখা যাক পরের নিয়মটি কী বোঝাতে চায়ঃ

Rule:#5

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি লব এবং হর উভয়েই x এর ফাংশন হয় এবং লবের x এর সর্বোচ্চ ঘাত হরের সর্বোচ্চ ঘাতের বেশি বা সমান হয় তাহলে লবকে হর দ্বারা ভাগ করতে হবে।
ভাগ করার নিয়মঃ
লবের স্থলে হর লিখে তাকে ব্যালেন্স করতে হবে (মূল সূচক চিহ্ন যদি সম্পূর্ণ রাশির উপরে থাকে তবে তা ব্যতীত লিখতে হবে)। তারপর হর দিয়ে লবকে ভাগ করতে হবে।
এটা একটা গুরুত্বপূর্ণ নিয়ম। .. .. .. বুঝি নাই?!
তাহলে ছবির দিকে দৃষ্টিপাত করুনঃ

এ অঙ্কটা অন্য নিয়মেও করা যায়। সেটা পরে দেখান হবে।
এবার নেক্সট নিয়মে আসা যাক।

Rule:#6

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি   বা, অথবা,  আকারের হয়,
তবে, সর্বদা, ও  বসাতে হবে এবং অঙ্ক সরল করার পর  ধরতে হবে।
বোঝা গেল না বুঝি?
তাহলে চিত্র দেখুনঃ

এ জাতীয় আরও অঙ্ক আছে, তবে সেটার সাথে অন্য নিয়ম মিক্সড থাকায় দেওয়া হল না। ওই নিয়ম শেখার পর নিশ্চয়ই দেব।

Rule: #7

বিবৃতিঃ যদি কোন Iⁿ এর হর যদি f(x) হয় এবং লব যদি f^’(x) হয়। অর্থাৎ, হরকে ডিফারেন্সিয়েট করলে যদি লব পাওয়া যায় তাহলে এই নিয়মটি অনুসরণ করতে হবে।
যদি  হয় তবে এর ইন্টিগ্রেশন হবে  । তবে ধ্রুবক থাকলে ব্যালেন্স করে নিতে হবে।
কয়েকটা উদাহরণ দেখলেই ব্যপারটা পরিষ্কার হয়ে যাবেঃ

আরেকটা উদাহরণ দেখিঃ

Rule:#8

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি  বা  হয় তবে তাকে প্রথমে  বা  তে রূপান্তরিত করতে হবে এবং তারপর বা  তে পরিণত করতে হবে। (*) এর মানে হল ব্যালেন্স ঠিক রাখার জন্য প্রয়োজনীয় ধ্রুবক যোগ অথবা বিয়োগ করা। এরপর অঙ্কের ফরম্যাট অনুযায়ী তাকে উপযোগী সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে।   বা  এটার ক্ষেত্রে x² ও x এর আগে মাইনাস থাকতে পারে। সর্বদা x² এর আগের মাইনাসকে প্লাসে নিতে হবে। তারপর ক্যালকুলেশন করতে হবে।
বোঝা না গেলে চলুন কিছু ছবি(অঙ্ক) দেখিঃ

আরেকটা দেখা যাক; এবারের অঙ্কটাতে Rule:#6 ও থাকবে।

কি চমৎকার দেখা গেল অঙ্কটিতে!! একইসাথে তিনটি Rule
তাহলে আশা করা যায়, নিয়মটি বোঝা গেল। তাই না?
এবার নেক্সট নিয়মটা দেখি,

Rule:#9

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি  বা  বা  বা  আকারের হয় তবে  ধরতে হবে। এরপর x কে theta এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করে মানগুলো বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
বুঝতে হলে, অঙ্কচিত্র দেখে নিনঃ

Rule:#10

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি  আকারের হয় তবে  ধরতে হবে এবং  x কে theta এর সাপেক্ষে ডিফারেন্সিয়েট করে মানগুলো ওই রাশিতে বসিয়ে সমাধান করতে হবে।
একটি উদাহরণ দেখিঃ

এবার আসা যাক পরবর্তী নিয়মে

Rule:#11

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি  বা   আকারের হয় তাহলে বর্গমূলের ভিতরের অংশটিকে z² ধরে বর্গমূল ছাড়া অংশের মান এবং dx এর মান বের করে প্রদত্ত অঙ্কে বসিয়ে প্রয়োজনীয় ক্যালকুলেশনের মাধ্যমে সমাধান করতে হবে।

খুব সহজ, তাই না?!
তাহলে দেরি না করে আরেকটি নিয়ম দেখা যাক;

Rule:#12

বিবৃতিঃ কোন Iⁿ যদি একটি পদের ঘাত অপর পদের অর্ধেক অথবা দ্বিগুণ হয় তাহলে যেই পদের ঘাত কম সেই পদের ঘাতকে ১ করতে হলে z এর ঘাত তত ধরতে হবে এবং ডিফারেন্সিয়েট করে dx ও x এর মান বসিয়ে প্রয়োজনীয় ক্যালকুলেশন করে সমাধান করতে হবে। এটা ঠিক আগের নিয়মের মত তবে এখানে পদটি এক চলকবিশিষ্ট হবে এবং এই পদের সাথে কোন ধ্রুবক যোগ অথবা বিয়োগাকারে থাকে না।
অর্থাৎ, ধরি কোন Iⁿ , এখানে sqrt of x এর ঘাত x এর ঘাতের অর্ধেক। সুতরাং sqrt of x এর ঘাত 1 এ আনতে z²=x ধরতে হবে এবং একে ডিফারেন্সিয়েট করে প্রদত্ত অঙ্কে dx ও x এর মান বসিয়ে অঙ্কের সমাধান করতে হবে। এখানে কিন্তু সমস্যাটি  বা  আকারেও থাকতে পারে। সমাধানের নিয়মটি অপরিবর্তিত থাকবে।
একটা সমাধান দেখলেই নিয়মটা বোঝা যাবেঃ

এই পর্যন্ত ইন্টিগ্রেশনের বেশিরভাগ অঙ্কগুলোর সমাধানের নিয়মাবলী দেওয়া হল। (HSC)।
কিছু কথা উল্লেখ করা ভালঃ
১। এখানে ধ্রুবক সবার শেষে যোগ করা হয়েছে। কিন্তু একদম সঠিক নিয়ম হল; অনির্দিষ্ট যোগজের ক্ষেত্রে প্রত্যেকবার যোগজীকরণের পরে C যোগ করা। তবে, উচ্চমাধ্যমিক ও মাধ্যমিক বোর্ডে শেষের লাইনে C যোগ করলেই হয়। অর্থাৎ যেটা আমি করেছি।
২। এখানে uv method, কিংবা আংশিক ভগ্নাংশ অথবা নির্দিষ্ট যোগজ নিয়ে আলোচনা করা হয় নি। এ-স-ক-ল ক্ষেত্রে আমার টিউনের কোন না কোন নিয়ম কোন না কোন অঙ্কে খাটান যাবে, তবে uv method এর ক্ষেত্রে এবং আংশিক ভগ্নাংশের বেলায় পরিবর্তন আসবে; কিন্তু নির্দিষ্ট যোগজের ক্ষেত্রে কোন পরিবর্তন নেই, কেবল শেষে আপার লিমিট থেকে লোয়ার লিমিট বাদ দিলেই হবে এবং উল্লেখ্য যে C যোগ করা যাবে না।
আশা করি এই নিয়মগুলো আপনারা ভালভাবেই বুঝেছেন; না বুঝলে কমেন্টের মাধ্যমে জানানোর অনুরোধ করছি। এখানকার বেশ কিছু নিয়ম বোর্ডের বিভিন্ন বই থেকে সংগ্রহ করা হয়েছে।
এবার একটা ছোট্ট পরীক্ষা নেওয়ার পালা।
নিচে দুটো অঙ্ক দেব, আপনাদের উত্তরটা বলতে হবে।
১।

২।

**লেখাটি পিডিএফ আকারে দেওয়ার চেষ্টা করেছি কিন্তু বেশ কয়েকবার আপলোড হতে সমস্যা করায় আর দেওয়া হল না,  যাদের লেখাটি প্রয়োজন তাঁরা একটু কষ্ট করে www.web2pdfconvert.com  সাইটটিতে গিয়ে কনভার্ট করে নিয়েন। ধন্যবাদ।**

এরপর আমরা আংশিক ভগ্নাংশের যোগজীকরণ এবং নির্দিষ্ট যোগজীকরণ সম্পর্কে জানব। সবাইকে অসংখ্য ধন্যবাদ পোস্টটি পড়ার জন্য।
সবাই ভাল থাকুন, সুস্থ থাকুন সেই কামনায় আজ শেষ করছি। আল্লাহ্‌ হাফেজ।

Read more »